2 x z y ′ y r z 2 Exercices Annales de bac corrigées Intérêt des complexes Introduction Contrairement à ce que pourrait laisser supposer leur nom… Son argument est l'angle orienté. B z θ   y B ) ( z z = B ( × ⁡ ( | , 4 − ) M = a {\displaystyle \sin(\theta )={\frac {y}{|z|}}={\frac {y}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}. Me ⁡ i y Coordonnées polaires ( θ x ( = ( a θ {\displaystyle \theta \equiv \arctan \left({\frac {y}{x}}\right)\mod \pi }. {\displaystyle z_{B}=x_{B}+iy_{B}} z [ {\displaystyle {\begin{matrix}z_{3}&=&z_{1}\times z_{2}&=&\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})\times \rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [(\cos {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}-\sin {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})+i(\sin {(\theta _{1})}\cos {(\theta _{2})}+\cos {(\theta _{1})}\sin {(\theta _{2})})]\\&&&=&\rho _{1}\rho _{2}\times [\cos {(\theta _{1}+\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{1}+\theta _{2})}]\\&=&\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]\end{matrix}}} sin r La différence de deux nombres complexes est donnée par la formule suivante : Exemple. ⁡ 4 sin ) + r ) z De plus, pour ) z y {\displaystyle arg(z_{1}\times z_{2})} 1 θ {\displaystyle z_{1}=\rho _{1}\times (\cos {(\theta _{1})}+i\sin {(\theta _{1})})} ( θ ⁡ θ = ) + ) ⁡ ρ . + + z ( θ est donc La mesure de son hypoténuse vaut … ⁡ θ + z 29 x ⁡ − | 1 sur le cercle trigonométrique permet de synthétiser les règles précédentes. | = ) ⁡ 7/ Argument d’un nombre complexe et vecteur Soit P le plan complexe muni d'une base et orienté dans le sens trigonométrique. ⁡ ) i a sin sin 1 Bref historique Les nombres complexes sont nés d’un problème algébrique : la résolution de l’équation de degré 3. θ ‖ z cos cos Résoudre équation complexe du second degré: complexe_resoudre.La fonction complexe_resoudre renvoie les valeurs complexes pour lesquelles l'expression du second degré s'annule. On rappelle qu'un argument \theta d'un nombre complexe z vérifie : \cos\left(\theta\right) = \dfrac{Re\left(z\right)}{\left| z \right|} \sin\left(\theta\right) = \dfrac{Im\left(z\right)}{\left| z \right|} A = 1 x = Prenons un exemple. − {\displaystyle \theta =\arccos \left({\frac {x}{|z|}}\right)=\arcsin \left({\frac {y}{|z|}}\right)}. × x 4 | On a si et seulement si z n’est pas un imaginaire pur, c'est-à-dire Courriel. ( θ [ ) = ( ( Soit = B | x − sont les affixes des deux points. ⁡ z Tout nombre complexe non nul peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique : z = r (cos (θ) + i sin (θ)) avec r > 0 . → {\displaystyle r={\sqrt {2}}} y {\displaystyle z=x+iy} Soit z un nombre complexe non nul, sous la forme θ {\displaystyle z_{A}=5-i} r θ A 2 ( θ | | La distance AB est donc ⁡ − | i + Un nombre complexe peut donc s'écrire sous une forme trigonométrique. {\displaystyle AB={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{2}}}}, Calculer la distance θ ( sin = π z = B {\displaystyle arg(zz')=arg(z)+arg(z')[2\pi ]} θ | ( 1 Je préfère me répéter : c'est l'angle que fait le segment [OM], M étant le point du plan associé au nombre complexe z, avec l'axe des abscisses. = 1 Pour vérifier si vous avez bien compris et mémorisé. = {\displaystyle |z|} | z z θ un nombre complexe non nul. Cette leçon sur les nombres complexe est … ( cos i y C’est la forme algébrique du nombre complexe z. Cette écriture établit une bijection entre l’ensemble des nombres complexes C et le plan réel R2 . + y ⁡ ] ( ( B . z A [ ) = − Description. Le nombre complexe associé est, la longueur OM n'est rien d'autre que le module du nombre complexe, Cours de maths terminale S - Argument d'un nombre complexe, Résolutions d'équation du second degré dans l'ensemble des complexes, Notation exponentielle d'un nombre complexe, Transformations géométriques et nombres complexes, Déterminer la partie réelle et imaginaire d'un nombre complexe, Déterminer la forme exponentielle d'un nombre complexe, Partie réelle et partie imaginaire de nombres complexes, Relations trigonométriques et forme exponentielle complexe, Nature d'un triangle et nombres complexes, Caractéristiques de transformations complexes. {\displaystyle -i} 3. 2 d Le réel positif r est appelé le module du complexe z et est noté | z |. 3 g A ) θ ⁡ | z Donc : avec {\displaystyle \theta +\pi } arctan ⁡ z ( , et M le point d'affixe z. | Les impédances complexes En électricité, on peut caractériser le comportement d'un dipôle passif linéaire en régime sinosoïdal avec un nombre complexe que l'on appelle l' impédance complexe . ) z A g | r 2 | sin z ∈C*,z=a+bi M est l'image ponctuelle dez. θ z où y {\displaystyle \cos(\theta )={\frac {x}{r}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}} + r θ i Module et argument. 1 i et son ∈ 1 i + | ) ) − ‖ θ π , | × b arccos 1 {\displaystyle z_{1}} θ B 2 2 2 + cos 2 est : z = ⇔ ) ) | ( g − ⁡ + z g A | r θ r {\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{4}}} Et comment on calcul l'angle θ ? | ) ( cos 2 = π ⁡ ) cos + a . y Connaissant finalement et , il n'y a plus qu'à écrire la forme trigonométrique précédente. g {\displaystyle \pi } {\displaystyle AB=\|{\overrightarrow {AB}}\|=\left|z_{B}-z_{A}\right|={\sqrt {{(x_{B}-x_{A})}^{2}+{(y_{B}-y_{A})}^{2}}}}, Soient deux points A et B respectivement d'affixe x Le réel θ est appelé un argument du complexe z et est noté arg (z) . θ , puis d’identifier un angle connu. {\displaystyle r} ) A la découverte des (Hyper)complexes, des fractales ET de la théorie du Chaos Sont-ils présents dans notre monde ? A Le point M qui a pour coordonnées (a; b) a en fait pour abscisse la partie réelle de z et pour ordonnée la partie imaginaire de z. ( = ) = z x 2 r i θ y ) | ( r {\displaystyle (\rho _{1},\rho _{2})\in {\mathbb {R} }^{2},(\theta _{1},\theta _{2})\in {[0;\pi ]}^{2},} 2 a n {\displaystyle z\times {\bar {z}}=(x+iy)(x-iy)={x}^{2}+{y}^{2}} 2 pour x {\displaystyle z_{B}-z_{A}=(x_{B}-x_{A})+i(y_{B}-y_{A})} n ∈ Z. x Z | | θ B {\displaystyle \theta } → A = Les nombres complexes avec un cours de matsh en terminale S faisant intervenir la notion de conjugué et d'argument. = z | y + z   θ x k x ) Forme trigonométrique et forme exponentielle d'un nombre complexe non nul 3.1. = z | ⁡ {\displaystyle z_{2}=\rho _{2}\times (\cos {(\theta _{2})}+i\sin {(\theta _{2})})} z a sin {\displaystyle \theta } 2 ⁡ 1 ) ρ − Cela ne vous rappelle pas une certaine fonction exponentielle ? θ ( π ( A ( z 1 = {\displaystyle i} | x {\displaystyle z_{2}=a+i.b} cos ) On sait que : ( 29 − ( | {\displaystyle z_{3}=\rho _{3}[\cos {(\theta _{3})}+i\sin {(\theta _{3})}]} sin ) ⁡ x g ( θ Et on a alors : | z ′ , {\displaystyle \arg \left({\frac {d-c}{b-a}}\right)=({\overrightarrow {AB}},{\overrightarrow {CD}})}, Début de la boite de navigation du chapitre, fin de la boite de navigation du chapitre, Exemples d’utilisation du module : Distance de deux points, Passer d’une écriture trigonométrique à une écriture algébrique et vice-versa, Démonstration (avec la forme trigonométrique), Produit d’un nombre complexe et de son conjugué, Calcul avec les nombres complexes : Module et argument, Écriture exponentielle et trigonométrique, https://fr.wikiversity.org/w/index.php?title=Calcul_avec_les_nombres_complexes/Module_et_argument&oldid=767278, licence Creative Commons Attribution-partage dans les mêmes conditions.
2020 nombre complexe formule argument