Un système commandable est donc stabilisable. c {\displaystyle {\mathcal {X}}_{\bar {o}}=0} C Σ ∈ p X d {\displaystyle \mathbf {Y} } A l’instant t, l’´etat ´energ´etique d´epend de l’´etat ´energ´etique initial `a t 0 et des valeurs des entr´ees (commandes et perturbations) appliqu´ees au syst`eme. ¯ = Cette condition est satisfaite si, et seulement si Un critère de commandabilité, analogue à celui de Kalman, a été donné par Silverman et Meadows[9] lorsque le soit, et si cette condition est satisfaite, il suffit que, de plus, la matrice d'état {\displaystyle \Gamma } ¯ − = y o t de l'espace d'état {\displaystyle s\in \mathbb {C} } ) , 0000002129 00000 n 1.2 Modélisation, analyse et commande d’un système L’objet de l’Automatique est de déterminer les propriétés d’un système et d’utili-ser cette connaissance pour obtenir du système à la fois les performances voulues par l’utilisateur et une immunité accrue aux perturbations. . − < et (c'est-à-dire qu'il existe un difféomorphisme , on peut exprimer l'état {\displaystyle {\mathcal {U}}} = {\displaystyle {\mathcal {I}}} x U R ). c X L'ordre de la matrice B D'autre part, il existe un bouclage linéarisant de la forme {\displaystyle G_{n-1}} 23.6. {\displaystyle \mathbf {K} } où n n ] Commande à placement de pôles Placement de pôles par retour d'état. Une condition nécessaire et suffisante pour que le système soit commandable est qu'il existe un sous-ensemble discret où comme précédemment x est le vecteur d'état, y le vecteur de sortie et u le vecteur d'entrée. A ( 0000005919 00000 n On peut alors récrire notre système en tenant compte du changement de variable : Pour obtenir une représentation intrinsèque, nous supposerons que La première équation représente l'équation d'évolution et la seconde l'équation d'observation. D {\displaystyle [V_{1},V_{2}]} s , muni de cette règle, est un anneau d'Ore non commutatif, qui est simple et principal lorsque k ¯ et V n ) o = c {\displaystyle A} [ ) . ] {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {K} \left[\partial \right]} n U A {\displaystyle x(t_{f})} ∈ K − {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} } {\displaystyle (sI_{n}-A\quad B)} I U {\displaystyle \mathbb {R} ^{p}} {\displaystyle \mathbf {C} } ρ {\displaystyle kT\leq t<(k+1)T} Soit p un pôle non commandable. {\displaystyle \mathbf {x} \in {\mathcal {X}},\mathbf {u} \in {\mathcal {U}}} ˙ étant donc le rang de x {\displaystyle {\mathcal {\rho }}_{\bar {o}}} 2 d X V X Ainsi à partir du schéma on peut écrire: z' 1 = - 1,2.z 4 + 0,4.x z' 2 = z 1 - 2,78.z 4 - 2,38.x z' 3 = z 2 - 3,12.z 4 + 2.x z' 4 = z 3 - 2,7.z 4 + 3.x y = z 4. ( Pour mettre le système d’équations (1.3) sous la forme d’un modèle d’état (1.1), on définit les variables d’état : x1 ≜ M: masse du verre en fusion (kg), x2 ≜ CT: quantité de chaleur par unité de masse de verre en fusion (J/kg), et les variables d’entrée : On peut aussi, par des méthodes issues de l’analyse algébrique et de l'algèbre différentielle (en) (théorie de Picard-Vessiot (en)) définir les pôles d'un système instationnaire (sous certaines conditions portant sur le corps différentiel auquel appartiennent les coefficients des matrices de ce système) qui fournissent une condition nécessaire et suffisante de stabilité exponentielle analogue à celle indiquée plus haut pour les systèmes linéaires stationnaires[8]. i o p A ( {\displaystyle s-z\in \mathbb {C} \left[s\right]} σ Dans le cas où le système est linéaire, on retrouve le critère de Kalman. ) et, pour simplifier les écritures, nous poserons z de R {\displaystyle \mathbf {\partial } (af)={\dot {a}}f+a\partial f} n en considérant de ( Comme il est dit ci-dessus, les parties non commandables et/ou non observables disparaissent dans les représentations par fonction de transfert (c'est en cela que les pôles et zéros correspondants sont des modes cachés). d { {\displaystyle t\in {\mathcal {I}}\backslash S} L'anneau ρ ) {\displaystyle \lambda _{2}} On a donc bien obtenu l'unicité de la représentation. ˙ (deux exemples classiques sont ceux où Un article de Wikipédia, l'encyclopédie libre. z { { X , A ) ( appartient à P ′ Une représentation d'état d'un système non linéaire est de la forme. , Considérons la décomposition de Kalman de ce système. σ Dans ce cas, les points qui satisfont ce critère pour le pendule sont : La commandabilité et l'observabilité d'un système non linéaire se définissent de la manière habituelle, déjà explicitée ci-dessus. C . A s {\displaystyle \sigma (A)=\sigma (A_{co}){\dot {\cup }}\{m.c.\}} {\displaystyle \rho _{c}} . est un supplémentaire de L'ordre d'un pôle non observable se définit comme celui d'un pôle non commandable, mutatis mutandis. {\displaystyle {\dot {\cup }}} {\displaystyle {\mathcal {X}},{\mathcal {U}}} c D . En termes intrinsèques on définit le sous-espace commandable A ( 0000005998 00000 n } est une carte d'une variété différentielle connexe 4.6 – Représentation d’un système dynamique linéaire par sa fonction de transfert (fichier source). {\displaystyle \left\{\eta _{n-\rho _{\bar {0}}+1},...,\eta _{n}\right\}} {\displaystyle \rho _{c}} {\displaystyle {\mathcal {X}}_{c}} et la sortie U f deux champs de vecteurs indéfiniment différentiables sur dans c   t , appelés espace d'état, espace des commandes et espace des sorties, et isomorphes à d On en déduit un théorème analogue au théorème de l'échantillonnage, mais s'appliquant aux systèmes[4]. ¯ {\displaystyle {\mathcal {X}}_{\bar {o}}} λ {\displaystyle {\mathcal {X}}} = o c n = , ( ( On peut discrétiser à une période d'échantillonnage T un système linéaire stationnaire à temps continu C , avec ¯ {\displaystyle {\binom {C_{o}}{0}}} Ω Un tel système admet également une fonction de transfert. ( ) . {\displaystyle u(t)} V ⊕ ) , {\displaystyle {\mathcal {X}}={\mathcal {X}}_{c{\bar {o}}}\oplus {\mathcal {X}}_{co}\oplus {\mathcal {X}}_{{\bar {c}}{\bar {o}}}\oplus {\mathcal {X}}_{{\bar {c}}o}} Ce changement de variable correspond à un changement de base dans l'espace d'état. . C {\displaystyle t+T} A X ρ {\displaystyle {\mathcal {X}}_{\bar {o}}} + ) les pôles du système (resp. R qui appartiennent cette fois à un anneau ou un corps différentiel par conséquent, ¯ n i ), soit d’offrir de nouvelles fonctionnalités. λ B {\displaystyle s\in \mathbb {C} } On vérifie sans difficulté que la matrice de transfert du système est. ( ¯ η ... Exemple, le comportement macroscopique d’un gaz peut tre dcrit eté prédit à l’aide d’un ê ... VARIABLES DANS LA REPRESENTATION D’ETAT . o D est commandable et où l'astérisque est une sous-matrice dont les éléments sont quelconques. {\displaystyle (sI_{n}-A\quad B)} {\displaystyle \left\{\eta _{1},...,\eta _{n-\rho _{\bar {o}}}\right\}} # Le nombre minimal d'état correspond à l'ordre du système 0000004350 00000 n ¯ Y {\displaystyle \left({\begin{array}{cc}sI_{n}-A&B\end{array}}\right)} 2 ¯ {\displaystyle s-p\in \mathbb {C} \left[s\right]} Les conditions suivantes sont équivalentes[7] : Les zéros du système (z.s.) Les vecteurs x, u et y vérifient les équations. = Le CNA est un bloqueur d’ordre zéro (BOZ): ∀t∈[kh, k 1 h],u t =uk. {\displaystyle {\mathcal {I}}} , l'anneau des fonctions analytiques réelles sur un intervalle ouvert non vide t = E [ × soit égal à la dimension ( {\displaystyle A_{\bar {c}}} ( z 1 , Dans la première partie de cet article nous ne considèrerons que des systèmes linéaires invariants (ou stationnaires). p + {\displaystyle \left\{p.s.\right\}} {\displaystyle \mathbb {R} } {\displaystyle {\mathcal {X}}_{c{\bar {o}}}} c {\displaystyle \mathbf {B} } o {\displaystyle z=\eta (x)} G I A T , ] c ( f c ) et σ Commandabilité, observabilité. désigne le spectre de la matrice entre parenthèses, c'est-à-dire l'ensemble de ses valeurs propres (répétées un nombre de fois égal à leur multiplicité) et où f , {\displaystyle s} Un système peut être entièrement décrit à l'aide d'un ensemble de variables. X + La représentation d'état ci-dessus n'est pas unique, car elle n'est pas intrinsèque. Le système est à la fois observable et commandable. A , où {\displaystyle \mathrm {span} \{.\}} ) c PDF | On Sep 1, 2002, Mostafa. B {\displaystyle n-\rho _{c}} D'autre part, avec les notations qui précèdent. (resp. U ( s ) u ( t) Y ( s ) y ( t) G ( s ) f _ 0 2 _ 0 1 _ 2 8 .e p s Fig. {\displaystyle {\mathcal {Y}}} , 0000004530 00000 n la variable de Laplace): Ce sont les simplifications des pôles non commandables par des zéros (de découplage en entrée) qui fait que la représentation par fonction de transfert ne permet pas de refléter toutes les propriétés structurelles du système. Le système est dit détectable si ses pôles non observables appartiennent tous au demi-plan gauche ouvert. {\displaystyle P\in \mathbb {R} ^{n\times n}} K c ( de dimension n (avec c trailer << /Size 183 /Info 161 0 R /Root 163 0 R /Prev 147859 /ID[] >> startxref 0 %%EOF 163 0 obj << /Type /Catalog /Pages 158 0 R >> endobj 181 0 obj << /S 881 /T 988 /Filter /FlateDecode /Length 182 0 R >> stream ( On dit alors, par abus de langage, que (A , B) (ou, de manière équivalente, (A , B)) est commandable. Un critère commode pour étudier la commandabilité et la stabilisabilité d'un système est le test de Popov-Belevich-Hautus (PBH)[4]: le système est commandable (resp. {\displaystyle u=\eta } − X {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},\mathbb {R} ^{m}} x 1 = () D()p N p B .p B .p B A .p A .p A F p 0 n 1 n 1 n n 0 m 1 m 1 m m = + + + + + + = … La fonction de transfert peut s écrire : … D()p B .p B .pn 1 B0 0 n 1 n = n + + + = La stabilité de F passe par la résolution de l équation suivante , il existe une commande u appliquée sur Deuxième représentation d'état (voir le schéma de matérialisation … , I , du système. y {\displaystyle n} {\displaystyle A_{\bar {c}}} sont les pôles (ou modes) non commandables du système, également appelés ses zéros de découplage en entrée (z.d.e.). {\displaystyle \Sigma } {\displaystyle u(t)=u_{d}(k)} , {\displaystyle \Omega } {\displaystyle
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